Eşlik ve Benzerlik

1. Şekilde eş olan iki üçgen verilmiştir ve ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş olarak eşlenmiştir. Buna göre [AB] kenarına karşılık gelen kenar hangisidir?

• A) [DE] kenarı
• B) [EF] kenarı
• C) [DF] kenarı
• D) Karşılık gelen kenar yoktur.

Doğru cevap: A — Eşlik yazılırken harfler sırasıyla eşlenir: A ile D, B ile E, C ile F. Bu yüzden [AB] ile [DE] karşılıklıdır.

1. Eşlik ABC ≅ DEF biçiminde yazılmıştır.
2. Yazımda birinci harfler A ve D karşılıklıdır.
3. İkinci harfler B ve E karşılıklıdır.
4. Böylece [AB] kenarının karşılığı [DE] kenarı olur.

2. Şekilde kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm, 5 cm olan üçgen ile 6 cm, 8 cm, 10 cm olan üçgen benzerdir. Küçük üçgenin büyük üçgene benzerlik oranı kaçtır?

• A) 1/4
• B) 1/3
• C) 1/2
• D) 2/3

Doğru cevap: C — Karşılıklı kenarların oranı benzerlik oranıdır: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2.

1. Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarları eşleştirelim: 3 ile 6, 4 ile 8, 5 ile 10.
2. Her çift için oranı yazalım: 3/6, 4/8 ve 5/10.
3. Üçünü de sadeleştirelim: hepsi 1/2 çıkıyor. Üç oranın da aynı çıkması benzerliğin sağlandığını doğruluyor; küçük üçgenin büyüğe oranı 1/2’dir.
4. Denetleyelim: bir oran farklı çıksaydı üçgenler benzer olmazdı ✓ — üç oranın eşitliği bir tutarlılık denetimi.

3. Şekilde kenarları 3 br ile 5 br olan I. dikdörtgen ve 6 br ile 10 br olan II. dikdörtgen verilmiştir. Bu iki dikdörtgen için hangisi söylenir?

• A) Birbirine eştir.
• B) Benzerdir ama eş değildir.
• C) Ne eş ne benzerdir.
• D) Hem eş hem benzerdir.

Doğru cevap: B — Karşılıklı kenar oranları 3/6 = 5/10 = 1/2 eşit olduğu için benzerdir; oran 1 olmadığından eş değildir.

1. Karşılıklı kenar oranları 3/6 ve 5/10 olarak yazılır.
2. İki oran da 1/2'ye eşittir, açılar da 90°'dir.
3. Oranlar eşit olduğu için şekiller benzerdir.
4. Benzerlik oranı 1 olmadığından şekiller eş değildir.

4. Şekilde ABC üçgeni ile KLM üçgeni eştir. m(A) = 55° ve m(B) = 65° verildiğine göre x ile gösterilen M açısının ölçüsü kaçtır?

• A) 45°
• B) 50°
• C) 55°
• D) 60°

Doğru cevap: D — Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir; m(C) = 180° − (55° + 65°) = 60° ve m(M) = m(C) = 60°.

1. ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180°'dir.
2. m(C) = 180° − (55° + 65°) = 60° bulunur.
3. ABC ≅ KLM eşlemesinde C açısının karşılığı M açısıdır.
4. Eş şekillerde karşılıklı açılar eşit olduğundan x = 60°'dir.

5. Şekildeki iki üçgen benzerdir. Küçük üçgenin 4 cm ve 6 cm olan kenarlarına karşılık büyük üçgende 6 cm ve x uzunlukları verildiğine göre x kaç santimetredir?

• A) 7 cm
• B) 9 cm
• C) 10 cm
• D) 12 cm

Doğru cevap: B — Karşılıklı kenarların oranı sabittir: 4/6 = 6/x eşitliğinden x = 9 cm bulunur.

1. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir.
2. 4/6 = 6/x orantısı kurulur.
3. İçler dışlar çarpımı: 4 × x = 6 × 6 = 36.
4. x = 36 : 4 = 9 cm olur.

6. Eni 6 cm, boyu 9 cm olan bir fotoğraf, şekli bozulmadan eni 18 cm olacak biçimde büyütülüyor. Büyütülen fotoğrafın boyu kaç santimetre olur?

• A) 21 cm
• B) 24 cm
• C) 27 cm
• D) 30 cm

Doğru cevap: C — Şekil bozulmadığına göre şekiller benzerdir: 18 : 6 = 3 ve 9 × 3 = 27 cm.

1. Fotoğrafın şekli bozulmadığı için eski ve yeni fotoğraf benzerdir.
2. En için büyütme oranı 18 : 6 = 3'tür.
3. Aynı oran boy için de geçerlidir.
4. 9 × 3 = 27 cm bulunur.

7. Şekilde I, II ve III numaralı üçgenler verilmiştir. I ile II aynı ölçülerde, III ise daha büyük çizildiğine göre hangi ikisi eştir?

• A) I ile II
• B) I ile III
• C) II ile III
• D) Üçü de eştir.

Doğru cevap: A — Eşlik hem açıların hem kenar uzunluklarının aynı olmasını gerektirir; bu yalnız I ile II için geçerlidir.

1. Eşliğin ölçütünü anımsayalım: iki şekil üst üste konduğunda tam olarak çakışmalı.
2. I ile II aynı ölçülerde çizilmiş; kenarları ve açıları aynı olduğu için çakışırlar.
3. III ise daha büyük çizilmiş. Açıları aynı olsa bile kenar uzunlukları farklı olduğundan çakışmaz; III yalnızca benzer olabilir, eş olamaz.
4. Denetleyelim: büyüklük farkı eşliği bozuyor ama benzerliği bozmuyor ✓ — iki kavramın ayrıldığı yer burası.

8. Şekilde solda eş, sağda benzer iki üçgen çifti gösterilmiştir. Buna göre eşlik ve benzerlik ilişkisi için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

• A) Benzer olan her iki şekil aynı zamanda eştir.
• B) Eş iki şeklin alanları birbirinden farklıdır.
• C) Benzer şekillerin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
• D) Eş olan iki şekil aynı zamanda benzerdir.

Doğru cevap: D — Eşlik, benzerlik oranının 1 olduğu özel durumdur; bu yüzden eş şekiller aynı zamanda benzerdir.

1. İki tanımı yan yana koyalım. Benzerlik: açılar eşit, kenarlar orantılı. Eşlik: açılar eşit, kenarlar eşit.
2. Eşlikte kenarlar eşit olduğuna göre oranları 1’dir. Ama 1 de bir orandır; yani orantı koşulu sağlanmış olur.
3. Öyleyse eşlik, benzerliğin oranın 1 olduğu özel hâlidir ve her eş şekil çifti aynı zamanda benzerdir.
4. Denetleyelim: tersi doğru değil ✓ — benzer olan her çift eş olmak zorunda değil, oran 1’den farklı olabilir.

9. Ölçeği 1 : 100 000 olan bir haritada A kenti ile B kenti arasındaki uzaklık 3 cm ölçülmüştür. Bu iki kent arasındaki gerçek uzaklık nedir?

• A) 300 m
• B) 1 km
• C) 3 km
• D) 30 km

Doğru cevap: C — Haritadaki 1 cm gerçekte 100 000 cm = 1 km'dir; 3 cm ise 3 km eder.

1. Ölçek 1 : 100 000 olduğuna göre 1 cm gerçekte 100 000 cm'dir.
2. 100 000 cm = 1000 m = 1 km olarak çevrilir.
3. Haritadaki uzunluk 3 cm'dir.
4. 3 × 1 km = 3 km bulunur.

10. Güneşli bir günde boyu 1,5 m olan Ece'nin gölgesi 2 m, aynı anda bahçedeki ağacın gölgesi 8 m ölçülmüştür. Ağacın boyu kaç metredir?

• A) 4,5 m
• B) 6 m
• C) 8 m
• D) 10,5 m

Doğru cevap: B — Aynı anda ölçülen gölgeler benzer üçgenler oluşturur: 1,5/2 = h/8 → h = 6 m.

1. Güneş ışınları paralel olduğundan iki üçgen benzerdir.
2. Boy ile gölge oranı her ikisinde aynıdır: 1,5/2 = h/8.
3. İçler dışlar çarpımı: 2 × h = 1,5 × 8 = 12.
4. h = 12 : 2 = 6 m bulunur.

11. Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenden küçüğünün çevresi 24 cm ölçülmüştür. Büyük üçgenin çevresi kaç santimetredir?

• A) 36 cm
• B) 40 cm
• C) 48 cm
• D) 54 cm

Doğru cevap: A — Benzer şekillerde çevrelerin oranı da benzerlik oranına eşittir: 24/x = 2/3 → x = 36 cm.

1. Benzer üçgenlerde tüm karşılıklı kenarlar aynı oranda büyür.
2. Bu yüzden çevrelerin oranı da 2/3'tür.
3. 24/x = 2/3 orantısı kurulur.
4. 2x = 72 ve x = 36 cm bulunur.

12. Şekilde ABCD dörtgeni ile KLMN dörtgeni eştir. |CD| = 7 cm verildiğine göre soru işaretiyle gösterilen [MN] kenarının uzunluğu kaçtır?

• A) 4 cm
• B) 5 cm
• C) 6 cm
• D) 7 cm

Doğru cevap: D — ABCD ≅ KLMN eşlemesinde C ile M, D ile N karşılıklıdır; eş şekillerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan |MN| = |CD| = 7 cm'dir.

1. Eşlik ABCD ≅ KLMN biçiminde yazılmıştır.
2. Üçüncü harfler C ve M karşılıklıdır.
3. Dördüncü harfler D ve N karşılıklıdır.
4. Öyleyse [CD] ile [MN] eşit uzunluktadır: 7 cm.

13. Uzunluğu 4,5 m olan bir arabanın 1 : 25 ölçekli maketi yapılacaktır. Bu maketin uzunluğu kaç santimetre olmalıdır?

• A) 12 cm
• B) 15 cm
• C) 18 cm
• D) 20 cm

Doğru cevap: C — 4,5 m = 450 cm'dir; 450 : 25 = 18 cm bulunur.

1. Önce uzunluk santimetreye çevrilir: 4,5 m = 450 cm.
2. Ölçek 1 : 25 olduğuna göre maket 25 kat küçüktür.
3. 450 : 25 = 18 işlemi yapılır.
4. Maketin uzunluğu 18 cm olmalıdır.

14. Şekilde benzer olan iki üçgenin karşılıklı açıları aynı yay işaretiyle belirtilmiştir. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları için doğru olan ifade hangisidir?

• A) Ölçüleri birbirine eşittir.
• B) Ölçüleri benzerlik oranı kadar büyür.
• C) Ölçüleri toplamı 180° olacak biçimde değişir.
• D) Ölçüleri arasında bir ilişki kurulamaz.

Doğru cevap: A — Benzerlik biçimi korur, yalnız boyutu değiştirir; açı ölçüleri kenar uzunluğuna bağlı olmadığı için değişmez.

1. Benzerliğin neyi değiştirdiğini belirleyelim: şekil aynı biçimde kalır, yalnız büyür ya da küçülür.
2. Boyut değişimi kenar uzunluklarını etkiler; her kenar aynı oranda uzar ya da kısalır.
3. Açı ise iki kenarın arasındaki açıklıktır ve uzunluğa bağlı değildir. Kenarları iki katına çıkarmak aralarındaki açıklığı değiştirmez; bu yüzden karşılıklı açılar eşit kalır.
4. Denetleyelim: açılar değişseydi biçim de değişirdi ✓ — o zaman şekiller benzer olmazdı.

15. Şekilde kenarları 4 cm ve 6 cm olan iki kare çizilmiştir. Küçük karenin alanı 16 cm² olduğuna göre büyük karenin alanı kaç santimetrekaredir?

• A) 24 cm²
• B) 36 cm²
• C) 48 cm²
• D) 54 cm²

Doğru cevap: B — Kenar oranı 4/6 = 2/3'tür; alan oranı bunun karesi olan 4/9'dur: 16 × 9 : 4 = 36 cm².

1. Kenar uzunlukları oranı 4/6 = 2/3'tür.
2. Benzer şekillerde alanların oranı, kenar oranının karesidir.
3. Alan oranı (2/3)² = 4/9 olur.
4. 16 × 9 : 4 = 36 cm² bulunur; 6 × 6 = 36 ile doğrulanır.