Eşlik ve Benzerlik

1. Benzerlik oranı 3/5 olan iki üçgenden küçüğünün alanı 27 cm²'dir. Büyük üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?

• A) 45 cm²
• B) 75 cm²
• C) 81 cm²
• D) 125 cm²

Doğru cevap: B — Alanların oranı benzerlik oranının karesidir: (3/5)² = 9/25 ve 27 ÷ 9 × 25 = 75 cm².

1. Alan sorusu olduğu için oranın karesini alalım: benzerlik oranı 3/5 ise alan oranı (3/5)² = 9/25’tir.
2. Orantıyı kuralım. Küçük alanın büyüğe oranı 9/25 olduğuna göre 27/x = 9/25.
3. İçler dışlar çarpımı: 9x = 27 × 25 = 675, buradan x = 75 cm².
4. Denetleyelim: 27/75 oranını sadeleştirelim ✓ — 9/25 çıkıyor, kurduğumuz orana eşit.

2. Boyu 1,8 m olan bir kişinin gölgesi 1,2 m iken aynı anda yandaki binanın gölgesi 24 m ölçülmüştür. Binanın yüksekliği kaç metredir?

• A) 16 m
• B) 24 m
• C) 30 m
• D) 36 m

Doğru cevap: D — Güneş ışınları paralel geldiği için üçgenler benzerdir: 1,8/1,2 = h/24 ve h = 36 m.

1. Önce üçgenlerin neden benzer olduğunu gerekçelendirelim. Güneş ışınları paralel geldiği için kişinin ve binanın gölgesiyle oluşan üçgenlerin açıları aynıdır.
2. Benzerlik kurulduğuna göre karşılıklı kenarlar orantılıdır: boy/gölge oranı iki üçgende de aynı olmalı.
3. Kişi için bu oran 1,8/1,2 = 1,5’tir. Bina için: h = 24 × 1,5 = 36 m.
4. Denetleyelim: bina gölgesi kişininkinin 20 katı ✓ — boyu da 1,8’in 20 katı olan 36 m çıkıyor.

3. Ölçeği 1 : 250 000 olan bir haritada iki şehir arası 6 cm ölçülmüştür. Bu şehirler arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?

• A) 15 km
• B) 25 km
• C) 150 km
• D) 1500 km

Doğru cevap: A — Haritadaki 6 cm gerçekte 6 × 250 000 = 1 500 000 cm = 15 km'dir.

1. Haritadaki 1 cm gerçekte 250 000 cm'ye karşılık gelir.
2. 6 × 250 000 = 1 500 000 cm hesaplanır.
3. 1 500 000 cm = 15 000 m olarak çevrilir.
4. 15 000 m = 15 km bulunur.

4. Şekildeki iki dikdörtgen benzerdir. Küçük dikdörtgenin kenarları 8 br ve 12 br, büyüğün kısa kenarı 12 br olduğuna göre x kaç birimdir?

• A) 14
• B) 16
• C) 18
• D) 20

Doğru cevap: C — Karşılıklı kenar oranı 8/12 = 12/x'tir; buradan x = 18 br bulunur.

1. Benzer dikdörtgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir.
2. 8/12 = 12/x orantısı kurulur.
3. İçler dışlar çarpımı: 8x = 144.
4. x = 144 : 8 = 18 br olur.

5. Şekilde iki üçgenin bazı kenar ve açıları eşit olarak işaretlenmiştir. İki üçgenin eş olduğunu söylemek için aşağıdaki bilgilerden hangisi tek başına yeterli değildir?

• A) Üç kenarın uzunluklarının eşit olması
• B) İki kenar ile aralarındaki açının eşit olması
• C) İki açı ile aralarındaki kenarın eşit olması
• D) Üç açının ölçüsünün eşit olması

Doğru cevap: D — Üç açısı eşit olan üçgenler benzerdir ama boyutları farklı olabileceğinden eş olmak zorunda değildir.

1. Eşlik için hem açıların hem kenarların eşit olması gerekir.
2. KKK, KAK ve AKA ölçütlerinde en az bir kenar bilgisi vardır.
3. Kenar bilgisi şeklin boyutunu sabitler.
4. Yalnız açılar verildiğinde boyut serbest kalır, bu yüzden AAA yeterli değildir.

6. Bir öğrenci nehrin genişliğini ölçmek için kıyıda 3 m ve 4 m ölçülerinde küçük bir üçgen kurmuş, aynı doğrultuda büyük üçgende kısa kenarı 12 m ölçmüştür. Nehrin genişliği kaç metredir?

• A) 16 m
• B) 18 m
• C) 20 m
• D) 24 m

Doğru cevap: A — Üçgenler aynı doğrultuda kurulduğu için benzerdir: 3/12 = 4/x ve x = 16 m.

1. Benzerliğin gerekçesini bulalım: öğrenci büyük üçgeni küçüğüyle aynı doğrultuda kurmuş, bu yüzden iki üçgenin açıları aynıdır.
2. Karşılıklı kenarları eşleştirelim: küçük üçgenin 3 m’lik kenarı büyüğün 12 m’lik kenarına, 4 m’lik kenarı ise aranan x’e karşılık geliyor.
3. Orantıyı kuralım: 3/12 = 4/x. İçler dışlar çarpımı 3x = 48 ve x = 16 m.
4. Denetleyelim: büyük üçgen küçüğün 4 katı ✓ — 4 × 4 = 16, sonuçla uyuşuyor.

7. ABC üçgeninde [DE] // [BC] biçiminde çizilmiştir. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 8 cm verildiğine göre |BC| kaç santimetredir?

• A) 16
• B) 20
• C) 24
• D) 28

Doğru cevap: B — ADE ile ABC üçgenleri benzerdir: 4/10 = 8/|BC| orantısından |BC| = 20 cm bulunur.

1. [DE] // [BC] olduğundan karşılıklı açılar eşittir ve üçgenler benzerdir.
2. |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 cm'dir.
3. Benzerlik oranı 4/10 = 2/5'tir.
4. 8/|BC| = 2/5 orantısından |BC| = 20 cm olur.

8. Benzer iki üçgenin alanları 16 cm² ve 25 cm²'dir. Küçük üçgenin çevresi 12 cm olduğuna göre büyük üçgenin çevresi kaçtır?

• A) 13,5 cm
• B) 14 cm
• C) 15 cm
• D) 18 cm

Doğru cevap: C — Alan oranı 16/25 ise benzerlik oranı √(16/25) = 4/5'tir; çevre oranı da 4/5 olduğundan 12 × 5 : 4 = 15 cm bulunur.

1. Alanların oranı 16/25'tir.
2. Benzerlik oranı bu oranın kareköküdür: 4/5.
3. Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir.
4. 12/x = 4/5 orantısından x = 15 cm bulunur.

9. Yüksekliği 60 m olan bir binanın 1 : 200 ölçekli maketi yapılacaktır. Maketin yüksekliği kaç santimetre olmalıdır?

• A) 30 cm
• B) 40 cm
• C) 50 cm
• D) 60 cm

Doğru cevap: A — 60 m = 6000 cm'dir ve 6000 : 200 = 30 cm bulunur.

1. Yükseklik santimetreye çevrilir: 60 m = 6000 cm.
2. Ölçek 1 : 200 olduğuna göre maket 200 kat küçüktür.
3. 6000 : 200 = 30 işlemi yapılır.
4. Maketin yüksekliği 30 cm olur.

10. Eni 8 cm, boyu 10 cm olan bir belge fotokopi makinesinde %150 oranında büyütülüyor. Büyütülen belgenin çevresi kaç santimetredir?

• A) 36 cm
• B) 44 cm
• C) 48 cm
• D) 54 cm

Doğru cevap: D — Kenarlar 1,5 katına çıkar: 12 cm ve 15 cm; çevre 2 × (12 + 15) = 54 cm olur.

1. %150 büyütme, kenarların 1,5 katına çıkması demektir.
2. Yeni en 8 × 1,5 = 12 cm olur.
3. Yeni boy 10 × 1,5 = 15 cm olur.
4. Çevre 2 × (12 + 15) = 54 cm bulunur.

11. Şekilde iki üçgende 5 cm ve 7 cm'lik kenarlar ile bu kenarlar arasındaki 60°'lik açı eşit olarak işaretlenmiştir. Bu iki üçgenin eşliği hangi ölçütle açıklanır?

• A) KKK (kenar-kenar-kenar)
• B) KAK (kenar-açı-kenar)
• C) AKA (açı-kenar-açı)
• D) AAA (açı-açı-açı)

Doğru cevap: B — İki kenar ve aralarındaki açı eşit olduğu için eşlik KAK ölçütüyle açıklanır.

1. Şekilde neyin işaretlendiğini sayalım: iki kenar uzunluğu (5 cm ve 7 cm) ve bir açı (60°).
2. Açının konumuna dikkat edelim; 60°’lik açı bu iki kenarın ARASINDA duruyor.
3. Sıralama kenar-açı-kenar biçimindedir. İki kenar ve aralarındaki açı eşitse üçgenler eştir; bu ölçütün adı KAK’tır.
4. Denetleyelim: açı kenarların arasında olmasaydı eşlik garanti olmazdı ✓ — konum ölçütün parçası.

12. Kenarları 6 br, 8 br ve 10 br olan bir üçgen, hipotenüsü 25 br olan benzer bir üçgene büyütülüyor. Büyük üçgenin çevresi kaç birimdir?

• A) 48
• B) 54
• C) 60
• D) 66

Doğru cevap: C — Benzerlik oranı 10/25 = 2/5'tir; küçük çevre 24 br olduğundan büyük çevre 24 × 5 : 2 = 60 br olur.

1. Küçük üçgenin çevresi 6 + 8 + 10 = 24 br'dir.
2. Karşılıklı kenarların oranı 10/25 = 2/5'tir.
3. Çevrelerin oranı da 2/5'tir.
4. 24/x = 2/5 orantısından x = 60 br bulunur.

13. İki kent arasındaki gerçek uzaklık 45 km'dir. Ölçeği 1 : 300 000 olan bir haritada bu iki kent arası kaç santimetre gösterilir?

• A) 9 cm
• B) 12 cm
• C) 13,5 cm
• D) 15 cm

Doğru cevap: D — 45 km = 4 500 000 cm'dir; 4 500 000 : 300 000 = 15 cm bulunur.

1. Gerçek uzaklık santimetreye çevrilir: 45 km = 4 500 000 cm.
2. Ölçek gereği harita uzunluğu 300 000 kat küçüktür.
3. 4 500 000 : 300 000 = 15 işlemi yapılır.
4. Haritadaki uzunluk 15 cm olur.

14. Benzer iki üçgende karşılıklı kenarlardan biri küçükte 9 cm, büyükte 15 cm'dir. Küçük üçgenin başka bir kenarı 12 cm olduğuna göre bunun büyük üçgendeki karşılığı olan x kaç santimetredir?

• A) 20 cm
• B) 18 cm
• C) 24 cm
• D) 25 cm

Doğru cevap: A — Benzerlik oranı 9/15 = 3/5'tir; 12/x = 3/5 orantısından x = 20 cm bulunur.

1. Karşılıklı kenarların oranı 9/15'tir.
2. Bu oran sadeleştirilince 3/5 olur.
3. 12/x = 3/5 orantısı kurulur.
4. 3x = 60 ve x = 20 cm bulunur.

15. Bir odanın 1 : 50 ölçekli planında oda 8 cm × 6 cm ölçülerinde çizilmiştir. Bu odanın gerçek taban alanı kaç metrekaredir?

• A) 6 m²
• B) 12 m²
• C) 24 m²
• D) 48 m²

Doğru cevap: B — Gerçek kenarlar 8 × 50 = 400 cm = 4 m ve 6 × 50 = 300 cm = 3 m'dir; alan 4 × 3 = 12 m² olur.

1. Plandaki 8 cm gerçekte 8 × 50 = 400 cm = 4 m'dir.
2. Plandaki 6 cm gerçekte 6 × 50 = 300 cm = 3 m'dir.
3. Odanın gerçek ölçüleri 4 m ve 3 m olur.
4. Alan 4 × 3 = 12 m² bulunur.