Eşlik ve Benzerlik

1. Benzer iki çokgenin alanlarının oranı 9/49'dur. Büyük çokgenin çevresi 84 cm olduğuna göre küçük çokgenin çevresi kaç santimetredir?

• A) 24 cm
• B) 30 cm
• C) 36 cm
• D) 42 cm

Doğru cevap: C — Alan oranı 9/49 ise benzerlik oranı √(9/49) = 3/7'dir; çevre oranı da 3/7 olduğundan 84 × 3 : 7 = 36 cm bulunur.

1. Benzer şekillerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir.
2. Benzerlik oranı = √(9/49) = 3/7 olur.
3. Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir: x/84 = 3/7.
4. 7x = 252 ve x = 36 cm bulunur.

2. Bir öğrenci benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanlarını tabloda görüldüğü gibi hesaplamıştır. Bu çözümdeki hata için ne söylenmelidir?

• A) 3. adım yanlıştır; alan oranı benzerlik oranının karesi olan 4/9 alınmalıydı.
• B) 2. adım yanlıştır; küçük üçgenin alanı verilemez.
• C) 1. adım yanlıştır; benzerlik oranı 3/2 yazılmalıydı.
• D) 4. adım yanlıştır; büyük üçgenin alanı 8 cm² bulunmalıydı.

Doğru cevap: A — Benzer şekillerde uzunluklar 2/3 oranında değişirken alanlar bu oranın karesi olan 4/9 oranında değişir; doğru sonuç 12 × 9 : 4 = 27 cm²'dir.

1. 1. ve 2. adımdaki veriler doğrudur.
2. 3. adımda alan oranı benzerlik oranıyla aynı alınmıştır.
3. Oysa alan iki boyutlu olduğundan oran karesi alınır: (2/3)² = 4/9.
4. Doğru sonuç 12 × 9 : 4 = 27 cm² olurdu.

3. Boyu 1,5 m olan bir kişinin gölgesi 2 m iken bir direğin gölgesi 16 m ölçülmüştür. Direğin tepesinden gölgesinin ucuna gerilen tel kaç metre olur?

• A) 16 m
• B) 18 m
• C) 19 m
• D) 20 m

Doğru cevap: D — Direğin boyu 1,5/2 = h/16 orantısından 12 m bulunur; tel ise √(12² + 16²) = √400 = 20 m'dir.

1. Gölge üçgenleri benzerdir: 1,5/2 = h/16.
2. 2h = 24 ve h = 12 m bulunur.
3. Tel, direk ve gölge ile dik üçgen oluşturur.
4. Tel = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 m olur.

4. ABC üçgeninde [DE] // [BC] çizilmiştir. |DB| = 4 cm, |AE| = 6 cm ve |EC| = 8 cm verildiğine göre x ile gösterilen |AD| uzunluğu kaçtır?

• A) 2 cm
• B) 3 cm
• C) 4 cm
• D) 5 cm

Doğru cevap: B — Paralellik nedeniyle |AD|/|DB| = |AE|/|EC| olur: x/4 = 6/8 → x = 3 cm.

1. [DE] // [BC] olduğundan ADE ile ABC üçgenleri benzerdir.
2. Benzerlik kenarları aynı oranda böler: |AD|/|DB| = |AE|/|EC|.
3. x/4 = 6/8 orantısı kurulur.
4. 8x = 24 ve x = 3 cm bulunur.

5. Ölçeği 1 : 400 000 olan haritada köy ile ilçe arası 7,5 cm ölçülmüştür. Saatte 60 km hızla giden bir araç bu yolu kaç dakikada alır?

• A) 30 dakika
• B) 45 dakika
• C) 50 dakika
• D) 60 dakika

Doğru cevap: A — Gerçek uzaklık 7,5 × 400 000 = 3 000 000 cm = 30 km'dir; 30 : 60 = 0,5 saat, yani 30 dakika sürer.

1. 7,5 × 400 000 = 3 000 000 cm hesaplanır.
2. 3 000 000 cm = 30 000 m = 30 km olarak çevrilir.
3. Süre = yol : hız = 30 : 60 = 0,5 saat bulunur.
4. 0,5 saat = 30 dakikadır.

6. Benzerlik oranı 3/5 olan iki üçgenden büyüğünün çevresi 45 cm ölçülmüştür. Küçük üçgenin çevresi kaç santimetredir?

• A) 15 cm
• B) 18 cm
• C) 25 cm
• D) 27 cm

Doğru cevap: D — Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir: x/45 = 3/5 ve x = 27 cm.

1. Bu soru çevre soruyor; öyleyse oranın karesi değil kendisi kullanılır. Çevre bir uzunluk toplamı olduğu için oran aynen geçer.
2. Orantıyı kuralım. Küçük üçgenin çevresi x, büyüğünki 45 cm ve oran 3/5: x/45 = 3/5.
3. İçler dışlar çarpımı: 5x = 135, buradan x = 27 cm.
4. Denetleyelim: 27/45 oranını sadeleştirelim ✓ — 3/5 çıkıyor.

7. Taban alanı 200 m² olan bir salonun 1 : 50 ölçekli maketi yapılıyor. Maketin taban alanı kaç santimetrekare olur?

• A) 400 cm²
• B) 600 cm²
• C) 800 cm²
• D) 1000 cm²

Doğru cevap: C — Uzunluklar 50 kat küçülürse alan 50² = 2500 kat küçülür: 200 m² = 2 000 000 cm² ve 2 000 000 : 2500 = 800 cm².

1. Gerçek alan santimetrekareye çevrilir: 200 m² = 2 000 000 cm².
2. Ölçek 1 : 50 olduğundan uzunluklar 50 kat küçülür.
3. Alan oranı uzunluk oranının karesidir: 50² = 2500.
4. 2 000 000 : 2500 = 800 cm² bulunur.

8. Göz yüksekliği 1,5 m olan bir kişi yere koyduğu aynada kulenin tepesini görmektedir. Kişi aynaya 2 m, ayna kuleye 20 m uzaklıkta olduğuna göre kulenin yüksekliği kaç metredir?

• A) 12 m
• B) 15 m
• C) 18 m
• D) 20 m

Doğru cevap: B — Işık geldiği açıyla yansıdığı için üçgenler benzerdir: 1,5/2 = h/20 ve h = 15 m.

1. Benzerliğin gerekçesini kuralım: ışık aynaya hangi açıyla geliyorsa aynı açıyla yansır. Bu yüzden kişi tarafındaki üçgenle kule tarafındaki üçgenin açıları eşittir.
2. Karşılıklı kenarları eşleştirelim: kişinin göz yüksekliği 1,5 m ile aynaya uzaklığı 2 m; kulenin yüksekliği h ile aynaya uzaklığı 20 m.
3. Orantıyı kuralım: 1,5/2 = h/20. İçler dışlar çarpımı 2h = 30 ve h = 15 m.
4. Denetleyelim: ayna kuleye 10 kat uzak ✓ — kule de 1,5’in 10 katı olan 15 m çıkıyor.

9. ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. |AB| = 3x − 1, |DE| = 11 cm ve |BC| = 2x + 1 olduğuna göre soru işaretiyle gösterilen [EF] kenarı kaç santimetredir?

• A) 5 cm
• B) 7 cm
• C) 8 cm
• D) 9 cm

Doğru cevap: D — Eşlikten 3x − 1 = 11 ve x = 4 bulunur; |BC| = 2 × 4 + 1 = 9 cm ve |EF| = |BC| = 9 cm'dir.

1. Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşittir: |AB| = |DE|.
2. 3x − 1 = 11 denkleminden 3x = 12 ve x = 4 bulunur.
3. |BC| = 2 × 4 + 1 = 9 cm hesaplanır.
4. [BC] kenarının karşılığı [EF] olduğundan |EF| = 9 cm'dir.

10. Bir öğrenci 1 : 200 000 ölçekli haritada 4 cm ölçtüğü uzaklığı tablodaki gibi hesaplamıştır. Öğrencinin çözümü hakkında ne söylenir?

• A) 4. adım yanlıştır; 800 000 cm = 8 km olarak yazılmalıydı.
• B) 3. adım yanlıştır; çarpma yerine bölme yapılmalıydı.
• C) 2. adım yanlıştır; haritadaki uzunluk metreye çevrilmeliydi.
• D) Çözümün tamamı doğrudur, hata yoktur.

Doğru cevap: A — 800 000 cm birimi metreye çevrilirken 100'e bölünür: 8000 m = 8 km; öğrenci 800 m yazarak birim çevirmede hata yapmıştır.

1. 1., 2. ve 3. adımlar doğrudur; 4 × 200 000 = 800 000 cm.
2. 1 m = 100 cm olduğundan 800 000 : 100 = 8000 m bulunur.
3. 8000 m = 8 km olarak yazılır.
4. Öğrenci 800 m yazdığı için 4. adımda hata yapmıştır.

11. Benzer iki dikdörtgenin karşılıklı kenarları 3 birim ve 4 birimdir. Küçük dikdörtgenin alanı 27 cm² olduğuna göre büyüğünün alanı kaç santimetrekaredir?

• A) 36 cm²
• B) 42 cm²
• C) 48 cm²
• D) 54 cm²

Doğru cevap: C — Benzerlik oranı 3/4 ise alan oranı 9/16'dır: 27 × 16 : 9 = 48 cm².

1. Karşılıklı kenarların oranı 3/4'tür.
2. Alan oranı bu oranın karesidir: 9/16.
3. 27/x = 9/16 orantısı kurulur.
4. 9x = 432 ve x = 48 cm² bulunur.

12. Dik kenarları 3 br ve 4 br olan dik üçgene benzer olan büyük üçgenin hipotenüsü 20 br'dir. Büyük üçgenin alanı kaç birimkaredir?

• A) 48 birimkare
• B) 96 birimkare
• C) 120 birimkare
• D) 150 birimkare

Doğru cevap: B — Küçük üçgenin hipotenüsü 5 br olduğundan oran 20 : 5 = 4'tür; büyük kenarlar 12 br ve 16 br, alan 12 × 16 : 2 = 96 birimkaredir.

1. Küçük üçgende hipotenüs √(9 + 16) = 5 br'dir.
2. Büyütme oranı 20 : 5 = 4 bulunur.
3. Büyük üçgenin dik kenarları 3 × 4 = 12 br ve 4 × 4 = 16 br olur.
4. Alan = 12 × 16 : 2 = 96 birimkare hesaplanır.

13. Benzer iki üçgenin çevreleri 24 cm ve 36 cm'dir. Küçük üçgenin bir kenarı 10 cm olduğuna göre bu kenarın büyük üçgendeki karşılığı kaçtır?

• A) 15 cm
• B) 16 cm
• C) 18 cm
• D) 20 cm

Doğru cevap: A — Çevrelerin oranı 24/36 = 2/3'tür; karşılıklı kenarlar da aynı oranda olduğundan 10/x = 2/3 ve x = 15 cm bulunur.

1. Çevrelerin oranı 24/36 biçiminde yazılır.
2. Oran sadeleşince 2/3 olur, bu benzerlik oranıdır.
3. 10/x = 2/3 orantısı kurulur.
4. 2x = 30 ve x = 15 cm bulunur.

14. Şekilde kenarları 2 br × 6 br ve 3 br × 4 br olan iki dikdörtgen verilmiştir. Bu şekilden yola çıkıldığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

• A) Bütün kareler birbirine benzerdir.
• B) Bütün eşkenar üçgenler birbirine benzerdir.
• C) Eş şekiller, benzerlik oranı 1 olan benzer şekillerdir.
• D) Bütün dikdörtgenler birbirine benzerdir.

Doğru cevap: D — Şekildeki dikdörtgenlerde 2/3 ile 6/4 oranları eşit olmadığından bu ikisi benzer değildir; demek ki her dikdörtgen çifti benzer olmaz.

1. Benzerlik için karşılıklı kenarların oranları eşit olmalıdır.
2. Şekilde 2/3 ≈ 0,67 iken 6/4 = 1,5'tir.
3. Oranlar eşit olmadığından bu iki dikdörtgen benzer değildir.
4. Bu yüzden "bütün dikdörtgenler benzerdir" ifadesi yanlıştır.

15. Bir salonun 1 : 100 ölçekli planında salon 5 cm × 4 cm çizilmiştir. Salonun zemini metrekaresi 250 TL olan parke ile kaplanacaktır. Toplam maliyet kaç TL olur?

• A) 3000 TL
• B) 4000 TL
• C) 5000 TL
• D) 6000 TL

Doğru cevap: C — Gerçek ölçüler 5 m ve 4 m, alan 20 m²'dir; 20 × 250 = 5000 TL ödenir.

1. Plandaki 5 cm gerçekte 5 × 100 = 500 cm = 5 m'dir.
2. Plandaki 4 cm gerçekte 400 cm = 4 m'dir.
3. Zemin alanı 5 × 4 = 20 m² olur.
4. Maliyet 20 × 250 = 5000 TL hesaplanır.