Kareköklü İfadeler

1. İşleminin sonucu kaçtır?

√12 × √3 + √25

• A) 11
• B) 6
• C) 16
• D) 41

Doğru cevap: A — Önce çarpma yapılır: √12 × √3 = √36 = 6; sonra 6 + 5 = 11.

1. İşlem önceliği çarpmayı öne alır: √12 × √3.
2. Çarpmada içler çarpılır: √(12 × 3) = √36 = 6.
3. Şimdi toplama: √25 = 5 olduğuna göre 6 + 5 = 11.
4. Denetleyelim: √12 = 2√3 ve 2√3 × √3 = 2 × 3 = 6 ✓; sonra 6 + 5 = 11.

2. Kare biçimindeki bir masa örtüsünün alanı şekilde verilmiştir. Örtünün bir kenar uzunluğu ile 12 cm arasındaki fark hangi ifadeye eşittir?

• A) 12√2 − 12
• B) 12 − 12√2
• C) √2
• D) 24√2

Doğru cevap: A — Kenar √288 = 12√2 cm’dir; 12 cm ile farkı 12√2 − 12 eder.

1. Örtü kare olduğuna göre kenar = √288.
2. Sadeleştirelim: 288 = 144 × 2 ve 144 tam kare, yani √288 = 12√2 cm.
3. Fark isteniyor: 12√2 − 12. Bu ifade sadeleşmez, çünkü biri köklü biri değil.
4. Denetleyelim: 12√2 ≈ 16,97 ve 16,97 − 12 ≈ 4,97 — pozitif bir fark. Kenar 12’den uzun olduğu için sonuç pozitif çıkmalıydı.

3. Kartlarda dört kareköklü sayı verilmiştir. Bu sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün çarpımı hangisidir?

• A) √28
• B) 4√10
• C) 2√40
• D) 40

Doğru cevap: B — En büyük √20, en küçük √8 dir; √20 × √8 = √160 = 4√10 olur.

1. 2√3 = √12 ve 3√2 = √18 yazılır.
2. Sıralama: √8 < √12 < √18 < √20
3. √20 × √8 = √160
4. 160 = 16 × 10 → √160 = 4√10

4. Dikdörtgen biçimindeki bir havuzun kenar uzunlukları şekilde verilmiştir. Buna göre bu havuzun çevresi kaç metredir?

• A) 7√3
• B) 14√3
• C) 30√3
• D) √87

Doğru cevap: B — √75 = 5√3 ve √12 = 2√3 olduğundan çevre 2 × (5√3 + 2√3) = 14√3 m dir.

1. √75 = √(25 × 3) = 5√3
2. √12 = √(4 × 3) = 2√3
3. 5√3 + 2√3 = 7√3
4. Çevre = 2 × 7√3 = 14√3 m

5. Eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

√(x + 7) = 5

• A) 12
• B) 25
• C) 18
• D) 32

Doğru cevap: C — Kökten kurtulmak için iki tarafın karesi alınır: x + 7 = 25 → x = 18.

1. Kök içindeki ifadeyi açığa çıkarmak için eşitliğin iki tarafının da karesini alalım.
2. Sol taraf: (√(x+7))² = x + 7. Sağ taraf: 5² = 25.
3. Denklem x + 7 = 25 oldu; her iki taraftan 7 çıkaralım: x = 18.
4. Denetleyelim: x = 18 için √(18 + 7) = √25 = 5 ✓. Eşitlik sağlanıyor.

6. Bir öğrenci şemadaki adımlarla işlem yapmıştır. Doğru sonuç ile öğrencinin bulduğu sonuç arasındaki fark kaçtır?

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 5

Doğru cevap: B — Kök içindeki toplam önce yapılır: √(16 + 9) = √25 = 5; öğrencinin bulduğu 7 ile farkı 2’dir.

1. Şemadaki hata √(16 + 9) ifadesini √16 + √9 olarak ayırmak. Böyle bir kural yok.
2. Doğrusu: kök içindeki işlem önce yapılır. 16 + 9 = 25 ve √25 = 5.
3. Öğrenci 4 + 3 = 7 bulmuş. Soru FARKI istiyor: 7 − 5 = 2.
4. Denetleyelim: iki sonuç da hesaplandı (5 ve 7) ve ikisi farklı; ayırma kuralının yanlışlığı böylece gösterilmiş oldu.

7. Tabloda üç kareköklü sayı verilmiştir. Buna göre a + b + c toplamının en sade biçimi hangisidir?

• A) 12√3
• B) 12√150
• C) √150
• D) 9√3

Doğru cevap: A — Üçü de sadeleştirilince kök içleri 3 olur ve katsayılar toplanır: 3√3 + 4√3 + 5√3 = 12√3.

1. Toplayabilmek için üçünün de kök içini aynı yapmak gerekir; her birini sadeleştirelim.
2. √27 = √(9 × 3) = 3√3 ve √48 = √(16 × 3) = 4√3.
3. √75 = √(25 × 3) = 5√3. Artık üçünün de içi 3; katsayıları toplarız: 3 + 4 + 5 = 12, yani 12√3.
4. Denetleyelim: √27 ≈ 5,20, √48 ≈ 6,93, √75 ≈ 8,66; toplamları ≈ 20,79. 12√3 ≈ 20,78. Tutuyor.

8. Kare biçimindeki bir bahçenin alanı 405 m² dir. Bu bahçenin kenar uzunluğu en sade biçimde a√b olarak yazıldığında a + b toplamı kaçtır?

• A) 13
• B) 14
• C) 15
• D) 86

Doğru cevap: B — Kenar √405 = 9√5 olduğuna göre a = 9, b = 5 ve toplam 14’tür.

1. Bahçe kare olduğuna göre kenar = √405.
2. 405 sayısının tam kare çarpanını arayalım: 405 = 81 × 5 ve 81 tam karedir.
3. √405 = √81 × √5 = 9√5. Öyleyse a = 9 ve b = 5; a + b = 14.
4. Denetleyelim: (9√5)² = 81 × 5 = 405 m² ✓. Verilen alana döndük.

9. Grafikte üç kare levhanın alanları cm² cinsinden verilmiştir. Buna göre bu levhaların kenar uzunlukları toplamı kaç cm dir?

• A) 15√2
• B) 12√2
• C) 166
• D) √166

Doğru cevap: A — Üçü de sadeleştirilince kök içleri 2 olur ve katsayılar toplanır: 3√2 + 5√2 + 7√2 = 15√2 cm.

1. Grafikten alanları okuyalım: 18, 50 ve 98 cm². Kenarlar bunların karekökleri.
2. Sadeleştirelim: √18 = 3√2 ve √50 = 5√2.
3. √98 = 7√2. Üçünün de içi 2 olduğu için katsayılar toplanır: 3 + 5 + 7 = 15, yani 15√2 cm.
4. Denetleyelim: (3√2)² = 18 ✓, (5√2)² = 50 ✓, (7√2)² = 98 ✓; üç kenar da doğru.

10. Kartlarda üç kareköklü sayı verilmiştir. Bu sayılarla ilgili aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

• A) √21 < 3√2 < 2√5
• B) 2√5 < 3√2 < √21
• C) 3√2 < 2√5 < √21
• D) 3√2 < √21 < 2√5

Doğru cevap: C — Hepsi tek kök altında yazılırsa √18 < √20 < √21 olur.

1. 3√2 = √(9 × 2) = √18
2. 2√5 = √(4 × 5) = √20
3. √21 olduğu gibi kalır.
4. √18 < √20 < √21 → 3√2 < 2√5 < √21

11. Bir üçgenin kenar uzunlukları tabloda verilmiştir. Buna göre bu üçgenin çevresi kaç cm dir?

• A) 58
• B) √58
• C) 6√2
• D) 9√2

Doğru cevap: D — Üç kenar da sadeleştirilince kök içleri 2 olur: 2√2 + 3√2 + 4√2 = 9√2 cm.

1. Çevre kenarların toplamıdır; toplayabilmek için üçünü de sadeleştirelim.
2. √8 = √(4 × 2) = 2√2 ve √18 = √(9 × 2) = 3√2.
3. √32 = √(16 × 2) = 4√2. Katsayıları toplayalım: 2 + 3 + 4 = 9, yani 9√2 cm.
4. Denetleyelim: √8 ≈ 2,83, √18 ≈ 4,24, √32 ≈ 5,66; toplamları ≈ 12,73. 9√2 ≈ 12,73. Tutuyor.

12. İşleminin sonucu kaçtır?

(2√3)²

• A) 6
• B) 36
• C) 4√3
• D) 12

Doğru cevap: D — Hem katsayının hem kökün karesi alınır: 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12.

1. Kare almak çarpanların her birine uygulanır: (2√3)² = 2² × (√3)².
2. 2² = 4.
3. (√3)² = 3, çünkü karekökün karesi sayının kendisidir. Çarpalım: 4 × 3 = 12.
4. Denetleyelim: 2√3 ≈ 3,46 ve 3,46 × 3,46 ≈ 12. Tutuyor.

13. Bir kutuda uzunlukları 3√5 cm ve 2√5 cm olan iki çubuk bulunmaktadır. Bu çubuklar uç uca eklendiğinde oluşan uzunluk kaç cm olur?

• A) 5√10
• B) 6√5
• C) 5√5
• D) √5

Doğru cevap: C — Kök içleri aynı olduğu için katsayılar toplanır: 3√5 + 2√5 = 5√5 cm.

1. Uç uca eklemek toplama demektir: 3√5 + 2√5.
2. İki terimin de kök içi 5; bu yüzden doğrudan toplanabilirler.
3. Kökü ortak çarpan gibi düşünelim: 3 tane √5 artı 2 tane √5 eder 5 tane √5. Sonuç 5√5 cm.
4. Denetleyelim: √5 ≈ 2,24; 3√5 ≈ 6,71 ve 2√5 ≈ 4,47, toplamları ≈ 11,18. 5√5 ≈ 11,18. Tutuyor.

14. Şekilde 36 eş kareden oluşan kare biçiminde bir model verilmiştir. Modelin tamamının alanı 144 cm² olduğuna göre bir küçük karenin kenar uzunluğu kaç cm dir?

• A) 1
• B) 3
• C) 2
• D) 4

Doğru cevap: C — Büyük karenin kenarı √144 = 12 cm dir; bir kenarda 6 küçük kare olduğundan 12 ÷ 6 = 2 cm.

1. Büyük karenin kenarı: √144 = 12 cm
2. Bir kenarda √36 = 6 küçük kare vardır.
3. 12 ÷ 6 = 2
4. Küçük karenin kenarı 2 cm dir.

15. Bir karenin alanı şekilde üslü biçimde verilmiştir. Buna göre bu karenin çevresi kaç cm dir?

• A) 48
• B) 72
• C) 144
• D) 96

Doğru cevap: D — kenar = √(2⁶ × 3²) = 2³ × 3 = 24 cm ve çevre 4 × 24 = 96 cm dir.

1. Karekök alınırken üsler yarıya iner.
2. √(2⁶ × 3²) = 2³ × 3¹
3. 2³ × 3 = 8 × 3 = 24 cm
4. Çevre = 4 × 24 = 96 cm