Üçgenler

1. Şekildeki dik üçgenin dik kenarları 9 cm ve 12 cm, hipotenüsü 15 cm'dir. Hipotenüse ait h yüksekliğinin uzunluğu kaç santimetredir?

• A) 6,5 cm
• B) 7,2 cm
• C) 7,5 cm
• D) 8,4 cm

Doğru cevap: B — Alan iki farklı tabandan yazılır: 9 × 12 : 2 = 54 cm² ve 15 × h : 2 = 54 → h = 108 : 15 = 7,2 cm.

1. Dik kenarlar taban ve yükseklik kabul edilirse alan = 9 × 12 : 2 = 54 cm².
2. Aynı alan hipotenüs tabanıyla da yazılabilir: 15 × h : 2 = 54.
3. 15 × h = 108 elde edilir.
4. h = 108 : 15 = 7,2 cm bulunur.

2. Şekildeki üçgenin iki kenarı 5 cm ve 8 cm, üçüncü kenarı x cm'dir. x bir tam sayı olduğuna göre üçgenin alabileceği en büyük çevre ile en küçük çevrenin farkı kaçtır?

• A) 4
• B) 6
• C) 7
• D) 8

Doğru cevap: D — 3 < x < 13 olduğundan x en küçük 4, en büyük 12'dir; çevreler 17 cm ve 25 cm, farkları 8 cm'dir.

1. Üçgen eşitsizliği: 8 − 5 < x < 8 + 5, yani 3 < x < 13.
2. x tam sayı olduğundan en küçük değeri 4, en büyük değeri 12'dir.
3. En küçük çevre 5 + 8 + 4 = 17 cm, en büyük çevre 5 + 8 + 12 = 25 cm'dir.
4. Fark 25 − 17 = 8 cm olur.

3. Aynı limandan aynı anda ayrılan iki gemiden biri kuzeye 24 km, diğeri doğuya 7 km gitmiştir. Kuzey ile doğu doğrultuları birbirine dik olduğuna göre gemiler arasındaki uzaklık kaç kilometre olmuştur?

• A) 25 km
• B) 26 km
• C) 28 km
• D) 31 km

Doğru cevap: A — Rotalar dik üçgen oluşturur: 24² + 7² = 576 + 49 = 625 ve √625 = 25 km.

1. Kuzey ve doğu doğrultuları arasındaki açı 90°'dir.
2. Gemilerin yolları dik üçgenin dik kenarlarıdır.
3. 24² + 7² = 576 + 49 = 625 hesaplanır.
4. Aradaki uzaklık √625 = 25 km bulunur.

4. Şekilde açıları birebir aynı olan iki farklı büyüklükte üçgen çizilmiştir. Bu durum dikkate alındığında bir öğrencinin tek bir üçgen çizebilmesi için kendisine hangi bilgi verilmelidir?

• A) Yalnızca üç açısının ölçüsü
• B) Yalnızca iki kenarının uzunluğu
• C) Üç kenarının uzunluğu
• D) Yalnızca bir kenar ile bir açının ölçüsü

Doğru cevap: C — Şekildeki gibi açıları aynı olan sonsuz sayıda üçgen çizilebilir; üç kenar uzunluğu verildiğinde ise yalnızca tek bir üçgen çizilir.

1. I. ve II. üçgenin açıları aynı, kenarları farklıdır.
2. Demek ki yalnız açılar verilirse üçgen tek olarak belirlenmez.
3. İki kenar ya da tek kenar-tek açı bilgisi de birden çok üçgen verir.
4. Üç kenar uzunluğu (KKK) verildiğinde üçgen tektir.

5. Şekilde bir kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kesikli çizgiyle gösterilmiştir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?

• A) 8√3 cm²
• B) 16√3 cm²
• C) 24√3 cm²
• D) 32√3 cm²

Doğru cevap: B — Yükseklik √(8² − 4²) = √48 = 4√3 cm'dir; alan 8 × 4√3 : 2 = 16√3 cm² olur.

1. Yükseklik tabanı ikiye böler: 8 : 2 = 4 cm.
2. h² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48 bulunur.
3. h = √48 = 4√3 cm olur.
4. Alan = 8 × 4√3 : 2 = 16√3 cm² hesaplanır.

6. Deniz 16 cm, 10 cm ve 6 cm uzunluğundaki çubuklarını birleştirip "6 + 10 sayısı 16'ya eşit olduğu için üçgen oluşur." demiştir. Deniz'in bu değerlendirmesi için ne söylenmelidir?

• A) Doğrudur, çünkü eşitlik durumu üçgen eşitsizliğini sağlar.
• B) Doğrudur, çünkü çubuklardan ikisi diğerinden kısadır.
• C) Yanlıştır, çünkü üçgenin kenarları farklı uzunlukta olamaz.
• D) Yanlıştır, çünkü iki kenarın toplamı üçüncüden kesinlikle büyük olmalıdır.

Doğru cevap: D — 6 + 10 = 16 olduğunda kısa çubuklar uzun çubuğun üzerine tam yatar, kapalı bir üçgen oluşmaz.

1. Üçgen eşitsizliğinde toplam üçüncü kenardan büyük olmalıdır, eşit olması yetmez.
2. Burada 6 + 10 = 16 ve üçüncü kenar da 16 cm'dir.
3. Bu durumda üç çubuk aynı doğru üzerinde üst üste gelir.
4. Kapalı bir üçgen oluşmadığı için Deniz yanılmıştır.

7. Şekilde B köşesinde ve C köşesinde dik açı bulunan iki üçgen ortak [AC] kenarını paylaşmaktadır. |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm ve |CD| = 8 cm verildiğine göre A ile D noktaları arasındaki uzaklık kaç santimetredir?

• A) 17 cm
• B) 18 cm
• C) 19 cm
• D) 20 cm

Doğru cevap: A — Önce |AC| = √(81 + 144) = 15 cm bulunur; sonra ACD dik üçgeninde |AD| = √(225 + 64) = √289 = 17 cm olur.

1. ABC üçgeninde 9² + 12² = 81 + 144 = 225 hesaplanır.
2. |AC| = √225 = 15 cm bulunur.
3. ACD üçgeninde dik açı C'dedir: 15² + 8² = 225 + 64 = 289.
4. |AD| = √289 = 17 cm olur.

8. Koordinat düzleminde A(−2, 1), B(4, 1) ve C(1, 5) noktaları birleştirilerek bir üçgen elde edilmiştir. Bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

• A) 8 birimkare
• B) 10 birimkare
• C) 12 birimkare
• D) 15 birimkare

Doğru cevap: C — [AB] tabanı 6 birim, C noktasının bu tabana uzaklığı 4 birimdir: 6 × 4 : 2 = 12 birimkare.

1. A ve B noktalarının ordinatları aynı olduğundan [AB] yataydır.
2. Taban uzunluğu 4 − (−2) = 6 birimdir.
3. C noktası y = 1 doğrusundan 5 − 1 = 4 birim yukarıdadır.
4. Alan = 6 × 4 : 2 = 12 birimkare bulunur.

9. Dik kenarları 30 m ve 40 m olan üçgen biçimindeki bir bahçenin çevresi 3 sıra telle çevrilecektir. Telin metresi 5 TL olduğuna göre toplam kaç TL ödenir?

• A) 900 TL
• B) 1200 TL
• C) 1500 TL
• D) 1800 TL

Doğru cevap: D — Hipotenüs 50 m, çevre 120 m, üç sıra tel 360 m ve maliyet 360 × 5 = 1800 TL'dir.

1. 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 ve hipotenüs √2500 = 50 m'dir.
2. Bahçenin çevresi 30 + 40 + 50 = 120 m olur.
3. Üç sıra tel için 3 × 120 = 360 m tel gerekir.
4. 360 × 5 = 1800 TL ödenir.

10. Şekildeki dik üçgenin hipotenüsü 26 cm, dik kenarlarından biri 10 cm'dir. Soru işaretiyle gösterilen diğer dik kenar kaç santimetredir?

• A) 24 cm
• B) 22 cm
• C) 20 cm
• D) 16 cm

Doğru cevap: A — Bilinmeyen dik kenar √(26² − 10²) = √(676 − 100) = √576 = 24 cm'dir.

1. Hipotenüs karesi dik kenar karelerinin toplamına eşittir.
2. 26² = 676 ve 10² = 100 hesaplanır.
3. 676 − 100 = 576 farkı bulunur.
4. Aranan kenar √576 = 24 cm olur.

11. Tabloda dört farklı üçlü verilmiştir. Bu üçlülerden hangisi bir dik üçgenin kenar uzunlukları olamaz?

• A) I
• B) II
• C) III
• D) IV

Doğru cevap: B — Dik üçgende en uzun kenarın karesi diğer ikisinin kareleri toplamına eşittir; II'de 7² + 9² = 130 iken 12² = 144'tür.

1. I için 6² + 8² = 100 ve 10² = 100, eşitlik sağlanır.
2. II için 7² + 9² = 49 + 81 = 130 fakat 12² = 144'tür.
3. III için 5² + 12² = 169 ve 13² = 169, eşitlik sağlanır.
4. IV için 9² + 12² = 225 ve 15² = 225, eşitlik sağlanır; yalnız II uymaz.

12. Bir binanın girişine yapılan rampanın eğik yüzeyi 2,5 m, yerdeki yatay uzunluğu 2 m ölçülmüştür. Rampanın ulaştığı kapı eşiği yerden kaç metre yüksektedir?

• A) 0,5 m
• B) 1 m
• C) 1,5 m
• D) 2 m

Doğru cevap: C — Rampa hipotenüstür: 2,5² − 2² = 6,25 − 4 = 2,25 ve √2,25 = 1,5 m.

1. Rampa, yer ve eşik yüksekliği dik üçgen oluşturur.
2. Eğik yüzey hipotenüstür ve 2,5 m'dir.
3. 2,5² − 2² = 6,25 − 4 = 2,25 hesaplanır.
4. Yükseklik √2,25 = 1,5 m bulunur.

13. Şekilde dik kenarlarının uzunlukları 6 cm olan ikizkenar dik üçgen verilmiştir. Soru işaretiyle gösterilen hipotenüs aşağıdakilerden hangisine eşittir?

• A) 6√2 cm
• B) 6√3 cm
• C) 12 cm
• D) 36 cm

Doğru cevap: A — 6² + 6² = 72 ve √72 = √36 × √2 = 6√2 cm'dir.

1. İki dik kenar da 6 cm'dir.
2. Pisagor bağıntısı: c² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
3. 72 sayısı 36 × 2 biçiminde yazılır.
4. c = √72 = 6√2 cm bulunur.

14. Dikdörtgen biçimindeki bir panonun kısa kenarı 10 cm, köşegeni 26 cm'dir. Bu panonun çevresi kaç santimetredir?

• A) 48 cm
• B) 56 cm
• C) 60 cm
• D) 68 cm

Doğru cevap: D — Uzun kenar √(676 − 100) = 24 cm'dir; çevre 2 × (24 + 10) = 68 cm olur.

1. Köşegen, kenarlarla dik üçgen oluşturur.
2. 26² − 10² = 676 − 100 = 576 hesaplanır.
3. Uzun kenar √576 = 24 cm bulunur.
4. Çevre 2 × (24 + 10) = 68 cm olur.

15. Şekildeki üçgenin kenar uzunlukları x, x + 3 ve x + 7 santimetredir. x bir tam sayı olduğuna göre x en az kaç olabilir?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 7

Doğru cevap: B — En uzun kenar x + 7'dir; x + (x + 3) > x + 7 eşitsizliğinden x > 4 çıkar, en küçük tam sayı 5'tir.

1. En uzun kenar x + 7 santimetredir.
2. Üçgen eşitsizliği: x + (x + 3) > x + 7.
3. Sol taraf düzenlenirse 2x + 3 > x + 7, buradan x > 4 elde edilir.
4. x tam sayı olduğundan en küçük değeri 5'tir.